Unidad 3: Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un angulo y una distancia.


Cualquier punto del plano corresponde a un par de coordenadas:

(r, θ)

en donde:

r = radio o distancia entre el punto y el origen de plano cartesiano tambien llamada coordenada radial

y


θ = es el angulo positivo en sentido antihorario tambien llamada coordenada angular

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Unidad 3: Trayectorias ortogonales e isogonales

Trayectoria Ortogonal

Una curva es una trayectoria ortogonal si forma un ángulo recto con cada una de
las curvas de una familia de curvas uniparametricas.

L a ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales sera:

F(x,y - 1/y') = 0

Ejemplo Hallar las trayectorias ortogonales a la familia x2 + (y - a)2 = a2

para hallar la E.D. se deriva respecto a x

2x+2(y - a)y' = 0 ---> despejamos a y queda a = y + x/y'

se sustituye en la ecuacion de la familia original y queda y' = 2xy/x2 - y2

Y resolviendo la ecuación diferencialpor el método mas conveniente obtenemos: x2 + y2 = C

Trayectoria Isogonal

Una curva es una trayectoria isogonal si corta a cada una de las curvas de una familia de curvas uniparametricas con un ángulo constante.

la ecuacion diferencial de las trayectorias isogonales sera:

F(x,y,tan(beta+alfa) - tan alfa/1 + tan(beta + alfa) tan alfa) = 0